Ky Fan不等式
概述
Ky Fan不等式（1949–1951）由樊畿在三篇 PNAS 论文中建立，将Weyl特征值不等式从单个特征值的逐项控制提升为特征值部分和的整体控制。核心内容：(1) Fan极值原理——前 $k$ 个最大特征值之和等于 Hermitian 矩阵在所有 $k$ 维子空间上"限制迹"的最大值；(2) Fan部分和不等式——$\sum_{i=1}^k\lambda_i(A+B) \leq \sum_{i=1}^k\lambda_i(A)+\sum_{i=1}^k\lambda_i(B)$；(3) Fan控制定理——所有 Ky Fan $k$-范数的控制等价于所有酉不变范数的控制。这套理论统一了特征值不等式与酉不变范数，是优化控制序 (Majorization) 理论的核心组成，并直接催生了 Horn 猜想的提出。
关键内容
定理一：Ky Fan 极值原理
设 $A$ 为 $n \times n$ Hermitian 矩阵，特征值降序排列 $\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_n$。则：
$$\sum_{i=1}^{k} \lambda_i(A) = \max_{\dim V = k} \operatorname{tr}(P_V A P_V) = \max_{\substack{v_1,\ldots,v_k \ \text{标准正交}}} \sum_{j=1}^k \langle Av_j, v_j\rangle$$
其中 $P_V$ 是到 $k$ 维子空间 $V$ 的正交投影。
与 Courant-Fischer 比较： - Courant-Fischer：$\lambda_k = \max_{\dim V=k} \min_{x\in V, |x|=1} \langle Ax,x\rangle$（极大极小） - Fan极值原理：$\sum_{i=1}^k\lambda_i = \max_{\dim V=k} \operatorname{tr}(P_VAP_V)$（纯粹极大）
Fan 的形式更简洁：把内层的"在 $V$ 中取极小"替换为"对 $V$ 求迹"，同时刻画了前 $k$ 个特征值的和而非单个特征值。
定理二：Ky Fan 部分和不等式
设 $A, B$ 为 $n \times n$ Hermitian 矩阵，对任意 $1 \leq k \leq n$：
$$\sum_{i=1}^{k} \lambda_i(A+B) \leq \sum_{i=1}^{k} \lambda_i(A) + \sum_{i=1}^{k} \lambda_i(B)$$
与 Weyl 不等式的关系： - $k=1$：退化为 $\lambda_1(A+B) \leq \lambda_1(A)+\lambda_1(B)$（Weyl 特例） - $k=n$：两端均为 $\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$（等式） - 随 $k$ 增大，不等式逐渐趋向等式——Fan不等式是连接 Weyl（$k=1$）与迹等式（$k=n$）的一族不等式
证明（极值原理的直接推论）：由极值原理，存在最优子空间 $V^*$ 使左端取最大值；在该子空间上，两项分别 $\leq$ 对应的部分和上界，相加即得。
Majorization 表述：Fan 不等式等价于弱优化控制序 $\lambda(A+B) \prec_w \lambda(A)+\lambda(B)$（详见优化控制序）。
定理三：Ky Fan $k$-范数与控制定理
定义（Fan $k$-范数）：对任意 $n \times n$ 矩阵 $X$： $$|X|{(k)} = \sum{i=1}^{k} \sigma_i(X), \quad 1 \leq k \leq n$$
其中 $\sigma_1 \geq \cdots \geq \sigma_n \geq 0$ 为奇异值（奇异值分解）。
| $k$ | Fan $k$-范数 | 别名 |
|---|---|---|
| $1$ | $\sigma_1(X)$ | 谱范数（算子范数、$\ell^\infty$ Schatten） |
| $2,\ldots,n-1$ | $\sum_{i=1}^k\sigma_i$ | 中间 Fan 范数 |
| $n$ | $\sum_{i=1}^n\sigma_i$ | 核范数（迹范数，Schatten 1-范数） |
Fan 控制定理：对 $n \times n$ 矩阵 $A, B$，以下等价：
$$|A|{(k)} \leq |B|{(k)}, \; \forall k = 1,\ldots,n \quad \Longleftrightarrow \quad ||A|| \leq ||B||, \; \forall \text{ 酉不变范数 } ||\cdot||$$
意义：有限个 Fan $k$-范数的比较完全决定了无限多个酉不变范数的比较。Fan 范数是酉不变范数锥的"极端射线"——它们是"最尖锐"的酉不变范数。
证明方法
三种核心技术的有机结合：
- 变分方法：将特征值部分和化为 Grassmann 流形上的优化问题
- 维数论证：若 $\dim V + \dim W > n$，则 $V \cap W \neq {0}$；用于在子空间交点处建立约束
- Courant-Fischer 推广：将单向量 Rayleigh 商替换为 $k$ 维子空间上的限制迹
后续影响
Horn 猜想（1962→1999）：Alfred Horn 受 Fan 不等式启发，提出 Hermitian 矩阵特征值和的完整充要约束（递归不等式系统）。Fan 不等式对应于最简单的情形（连续前 $k$ 项）。Klyachko（1998）和 Knutson-Tao（1999）通过 Schubert 演算、蜂巢模型最终解决。
Lidskii-Mirsky-Wielandt 定理（1950）：$\lambda(A)-\lambda(B) \prec \lambda(A-B)$，用 majorization 统一了扰动不等式。
Thompson-Freede 定理（1971）：将 Fan 类型不等式推广到非连续指标集，预示了 Horn 猜想的完整形式。
应用
量子信息：密度矩阵特征值的 majorization 关系是量子纠缠转换可行性的充要条件（Nielsen 1999）；von Neumann 熵次可加性依赖 Fan 型特征值控制。
主成分分析：PCA 寻求最大化数据协方差矩阵在 $k$ 维子空间上的限制迹——这正是 Fan 极值原理。
核范数正则化（推荐系统/矩阵补全）：核范数（Fan $n$-范数）作为秩的凸松弛，其理论基础在 Fan 控制定理中。
MIMO 通信：信道矩阵奇异值决定子信道容量，Fan 范数为容量部分和提供框架。
来源
- raw/books/矩阵分析/12_ky_fan_matrix_inequalities_1951.md